本文讨论形式系统作为今日数学的基本背景结构及其对未来的启示。
撰文 | 黎景辉
01
引 言
可以说形式系统是躲在数学背后的神秘百年老字号。看过多层大楼的建造的人都知道，工人是先架起一个钢架，然后安装墙壁窗户，到大楼造好的时候已经看不见原先那钢架了。打个比喻，把数学看作这个大楼，形式系统便是隐藏在大楼里的钢架。这个钢架出现问题，大楼便会倒塌。钢架的毛病是大楼的隐忧。同样若是支撑着你正在使用的数学的支架——“形式系统”出现矛盾，那当然会给用户很大的破坏！因为这个危机，一些数学家、计算机专家以至国防科学家关心数学背后的形式系统。虽然过去几十年我们的科学家工程师为了解决眼前的课题已筋疲力倦，实在没有空去想关于“形式系统”这些基础问题，但是近年以机器计算作为研究人工智能的工具我们已开始直接用上了形式系统。正如在大楼的人不会拆墙看看钢架，大部分学数学、教数学、用数学的人都不会去看看支撑着数学的形式系统。这样形式系统并不是国内人们普遍的常识。更重要的是，形式系统发动了一场革命，结构变为数学的主题。因此我们更觉得从一般人以至研究高等教育的学者，管理学校的干部亦是值得花几分钟了解一点形式系统与数学的故事。
大楼的钢架
大楼的钢架设计图
未开始之前还得谈谈题目的另外一个主角：“数学”。大家都在中小学念过数学。不过这只不过是初等算术和图形移运的习题。所以大家对十七世纪之后的数学容易产生误会，因此数学在我国曾被戴上抽象、唯心、形而上等负面的标记，终于把我国科学与工程的发展拉慢一些。幸好过去几十年，在众多数学家如华罗庚、吴文俊、丁石孙、邓东皋、齐民友、石钟慈、徐利治、林群、张景中、李毓佩、冯克勤、袁向东、刘建亚……等人努力推广数学科普教育之下，群众逐渐增加对现代数学的认识，一些介绍数学的优秀作品获得出版，比如文[1-7]。我们就借助这些书籍代我们解说“数学”吧。最后引丁石孙在齐民友的《数学与文化》[8]一书中的“写在前面”的第一句是这样说的：“20世纪80年代，钱学森同志曾在一封信中提出了一个观点，他认为数学应该与自然科学和社会科学并列，他建议称之为数学科学，他认为在人类整个知识系统中，数学不应该被看成自然科学的一个分支，而应该提高到与自然科学和社会科学同等重要的地位。”今日这还是值得我们参考的。
02
二十世纪初关于数学基础的三个观点
当人类兴高采烈进入二十世纪的时候，周边的科技不断带来新的惊喜。此时数学家和哲学家，不约而同地问同一个问题：数学家研究的、物理学家使用的数学是从哪里来的呢？这是问数学的起点或基础是什么呢？数学是人类思维的构造还是等待人类发现大自然本身的规律？为什么可以“应用”数学揭开自然的奥秘？当时有三派人各持己见激烈辩论。过了三十年，逻辑大师哥德尔（K. Gödel, 1906-1978）一语点破他们的迷惑[9]。从此数理逻辑另辟新途。一方面启发电子计算机科学的理论，进而在电子计算机出现后成为这个工业的骨干思想。另一方面形式系统透过集合论成为所有数学背后的不言而喻密藏。时过百年人类又面临新的挑战：第四次工业革命。这次革命的四个主流：基因工程，智能工程，材料工程，量子工程的共同支柱是——数学！如上一世纪一样，未来数学的基础结构亦将会深度影响本世纪工业的全面变化，这对一个国家的经济与国防的影响是无容忽视的。因此我们有必要对我们的数学教育作适当的安排以求得此次工业革命的最大收益。
本节余下将简单介绍二十世纪初关于数学基础的三个观点 ：直观论、逻辑论、形式论。更详细的讨论见 Kneebone[10]。齐民友《数学与文化》2.6, 2.7 节。此外从 Hart[11], van Heijenoort[12], Putnam[13], Tymoczko[14]等人所编的文集可以看到数学家和哲学家一直都很关心本节的问题。
罗素与怀特海的《数学原理》是关于哲学、数学和数理逻辑的三卷巨著
一.直观论 (Intuitionism) 或构造论 (Constructivism)：认为数学纯粹是人心理活动的构造，而不是存在于客观现实中的基本原理。主要发起人是荷兰数学家L. E. J. Brouwer (1881-1966)。可以参考A. Heyting关于直观论的名著。
二.逻辑论(Logicism)：数学只是逻辑的一部分。从一组符号，一组逻辑公理和一组“装组-操作”规则开始，在绝对没有使用“数”的直观的条件下，推导出“自然数”，以至所有数学。
三.这个观点首先由德国逻辑家费雷格(G. Frege,1848-1925)提出。他在Begriffsschrift一文中指出数学系统应具备以下三种性质：1.协调性(Consistency)——系统不可能证出互相矛盾的结果。2.完备性(Completeness)——系统可以证明在系统里产生的命题或这命题的否定命题。3.判定性(Decidability)——存在程序判定任何命题是否可以在系统中证明。费雷格在他的书Grundlagen和Grundgesetze企图证明可以纯粹从逻辑获得整数的算术。不过罗素在1903年给费雷格的信指出可以从费雷格书中的定律五推出悖论（见Russell著My philosophical development Chapter VII, 75-76页）。
从此逻辑论这个计划便转入罗素与怀特海的手中。他们撰写三卷巨著《数学原理》[15]。罗素（B. Russell, 1872-1970），英国哲学家，获1950年诺贝尔文学奖，罗素于1920年10月至1921年7月在北京大学讲学[16]。怀特海（A. N. Whitehead,1861-1947），英国数学家。罗素在My philosophical development的七、八、十章谈他对这部书的看法。更重要的是哥德尔[17]对此书的批判。
四.形式论(Formalism)
大家从小就受数学的迫害，那就不用说什么是数学。什么是形式系统？对年轻的比较好说，一个形式系统就好像一个计算机的程序。对其他的人，见过一个形式系统的就说很简单，从未见过就难说了。正如有人跟我说什么是雍正青花釉里红高足盌，听完了还是一头雾水，不如看个图片，虽然还是不懂，但也觉得好像相识。
一个形式系统包括：1.语言，2.逻辑，3.理论。比如定义“群”的公理便放在“群的形式系统”的理论部分。希尔伯特(D. Hilbert, 1862-1943)的形式论是说：数学是形式系统。我们可以在一个形式系统里证明一个理论是没有矛盾的。我们只容许“有限的证明”(finitary proof)——这是指,我们只考虑有限个对象和函数，我们可以计算这些函数的值，我们可以构造这些对象,当我们说某定理对某些对象成立，我们是指这个证明是适合每一个所指的对象。
关于逻辑部分，希尔伯特和Ackermann在1928年出版了一本教材Grundzüge der theoretischen Logik。不幸书中的谓词演算的代入规则是错的。要到1949年第三版才成功更正错误（此书的英译本是译自第二版）。详情见Church著Introduction to mathematical logic第289-290页和Kleene著Mathematical logic第107页，第21节。对形式论的现代的发展可看Franks著The Autonomy of Mathematical Knowledge和Sieg著Hilbert’s Program s and Beyond。
在1931年的文章Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme哥德尔证明了：
满足协调性的包含整数的算术的公理系统必不完备。包含整数的算术的公理系统内不能证明自身的协调性。
因此，按罗素的逻辑论或希尔伯特的形式论，不可能从有限的公理集推导出全部数学。
我们没有严格定义逻辑。大家把熟悉的推理规则看作逻辑便好了。当然要准确地进行以上的讨论便需要学习一些数理逻辑的。虽然发现了有很多全新的观念和方法，可以说关于二十世纪开始的时候所提出的问题的探讨所得的结果并不令人满意。故事的下一段便到了二十世纪的中叶。
03
布尔巴基的起点的批判
尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）是20世纪一群法国数学家的笔名。布尔巴基认为：数学是研究结构的理论。数学有三种基本的结构：代数结构，序结构，拓扑结构。布尔巴基的目的是在集合论的基础上，用公理方法对所有结构进行谨慎严格演绎，数学便是如此所得的体系。他们的工作始于1935年，他们把他们的工作成果写为《数学原本》（éléments de mathématique）由巴黎的Hermann出版社开始出版。至1998年，交换代数的第10章，出版工程告终。虽然《数学原本》全书有八千页，但当然并不包含所有数学，甚至不包含所有的基本数学，最简单的原因是数学像一个有机体是不停在演变的。更详细的介绍请看李文林编、胡作玄译的《数学的建筑》[18]。
布尔巴基的最初目标是编撰一本微积分教科书，不过《数学原本》的实变函数论部分并没有达到这个目标。这可能是因为布尔巴基的创始成员基本上是代数学家。同理，因为他们不是逻辑学家，《数学原本》的第一本：《集合论》也大受批判[19-20]。即使我们不管逻辑上的问题，但最少我们可以说一方面他 们忽略了20世纪数理逻辑的最重要的发现：哥德尔的定理，另一方面他们的集合论的说法和其他标准教材不同从而引起不必要的学习的混乱。
《数学原本》的《集合论》(Théorie des Ensembles)的第一章是“形式数学的描述”(Description de la mathématique formelle)，实际上是数理逻辑的简章。他们一开始便引入现在不常见的希尔伯特运算。不加说明，这个便出现在SGA4-1第1章第1节！这也不是我们常见的数理逻辑公理系统。你若打算细心阅读SGA你便不可对布尔巴基的数学基础完全无知了。
话也当说回来，《数学原本》的《代数》和《交换代数》真的是写得非常好的。如果你是学代数几何和代数数论，这是必备的参考书。
到此你或会问：这个布尔巴基跟我们何干？布尔巴基接受希尔伯特形式论的观点，他的目的是按严格的逻辑推理从一个清晰的起点再写全部基础数学。虽然他没有成功，但是他的《数学原本》成为把数学说成形式系统的范例。对整个二十世纪的后半有深刻的影响。从此形式系统便成为数学的基础背景。可以说布尔巴基已完成他的任务：在数学上安装了形式系统。因为这一个常被忽略的事实，在现行的教育设计里，中学数学的内容和教学方法同大学数学便有本质的区别，因而对学生的学习成功与否有深刻的影响（详细的讨论见[21]）。按照布尔巴基,这个形式系统便是公理集合论。虽然他在Éléments de mathématique, Théorie des ensembles没有清楚指出，他用的基本上是ZF公理集合论——Z, F分别指两位创建人：德国数学家策梅洛(Zermelo, 1871-1953)和以色列数学家弗兰克尔(Fraenkel, 1891-1965)。虽然大家接受了布尔巴基的精神，但是逻辑学家，几乎没有用Éléments de mathématique,Théorie des ensembles的系统！在二十一世纪开始的时候，数学家沃沃斯基（Voevodsky 1966-2017）对这个形式系统的证明方法的逻辑结构做出了深刻的批判，他组织一个团队研究这个问题[22]，笔者对此有个简介[23]。二十世纪开始的大风又再掀起一个巨浪!
到此，虽然本节和前一节的讨论对研究高等教育，逻辑历史和科学的哲学的人来说并不陌生，但是我们郑重地再说一次，这几乎一百年的辩证的结果是：数学家接受形式系统为数学的骨架，之后，数学家的工作是解答数学问题和发展数学。
04
从高子的宇宙到吕李的无穷范畴
如果我们说布尔巴基决定了我们怎样说数学，那就太表面了。要看看这个思潮怎样静静的改变了数学便得谈谈代数几何学的发展。我们只好说代数几何学是把中学里的代数和几何放在一起的感觉。准确点我们应该说代数几何学是研究几何结构的代数性质。要明白这句话恐怕要上门课了。为什么用这个困难的例子来说明呢？因为如果你只是看微分方程的数值解你看不见这个变化、又因为这个革命是起于代数几何学的。
故事当从扎里斯基（Zariski, 1899-1986）和韦伊（Weil, 1906-1998）说起。自十九世纪中叶,英、德、意三国的代数几何学家非常活跃。到了二十世纪三十年代人们开始怀疑这些代数几何学家，特别是意大利学派的，用直观辩证得出的结果的正确性。扎里斯基和韦伊分别提出改革代数几何学，使用德国哥廷根学派的代数学重新为代数几何学建立严格的基础。到了六十年代高滕迪克·亚历山大（或译作格罗滕迪克, Grothendieck, 1928-2014）对代数学和代数几何学引导了一场天轰地动的彻底改革，完全改变了这种学问的语言、方法与思维。由此数学才正式进入二十世纪。高滕迪克曾在法国工作，是二十世纪最优秀的数学家。按我国优良的开放容纳传统，我们就尊称为高子吧。
在开拓代数几何的时候，高子发觉被带回二十世纪初数学家和哲学家问的问题当中。作为布尔巴基的成员，他接受布尔巴基的这个不甚完美的基础。于是为了补救情况，让布尔巴基的集合论容纳范畴学，高子创造了“宇宙”这个全新的数学概念。这样是避开了罗素悖论，但同时亦引入新的困难：在ZFC公理集合论中不能证明无穷（>可数）宇宙的存在。
进入二十一世纪，吕李（Lurie, 1977-, 现任普林斯顿高等研究院教授）在美国哈佛大学开始用范畴建立导出代数几何学(derived algebraic geometry)。这是一种结合高子的代数几何与奎伦（Quillen, 1940-2011）的同伦代数[24]的全新的几何学。虽然无穷阶范畴论早就出现在数学和物理学里，但吕李有他的个人理论，为了帮助大家学习他的理论做准备,他写了两本书：《高阶拓扑形理论》（Higher topos theory, 944页）和《高阶代数》（Higher algebra, 1078页，出版中）。
陶哲轩（左一）和吕李（左二）等获得2015年数学突破奖，每人获奖金三百万美元
高子和他的继承者吕李的数学特征是以范畴代替性质，对范畴使用同调代数方法和同伦代数方法。他们研究的是数学结构而不是某个特定的微分方程的某种解可以算出。于是结构变为数学的主题。
若牛顿醒过来打开今年发表的微分方程的文章，花几周的功夫，他会看得明白。给他一本高子或吕李的书，恐怕他就莫明了。原因是二十世纪开始，结构性越来越是数学的主题。科学家开始利用数学对结构的理解来认识大自然以至人造现象与工程的内在结构。最著名的例子莫过于物理学家杨振宁用数学里的纤维丛理论建立规范场论了。当然今日还需要有人用微分方程数值法为工厂计算汽车内燃发动机中燃料燃烧数据，或电动汽车用锂离子电池的电荷状态估计，但这已经不是数学的核心问题了。
到此我们看见代数几何学家花了大半个世纪澄清代数几何学的基础，力求达到证明是在一个清晰严谨的基础上。然而因为布尔巴基的起点的问题和大基数与ZFC公理集合论的关系，我们还是未成功完全解答二十世纪初的问题。百分之九十九的数学家在日常的工作里是从一个问题开始一步一步的构成答案。他们不会像高子从数学基础开始走到求方程的整数解。但是到了21世纪，当我们和计算机到了几乎分不开的时候，我们也许不应该忘记计算机是从零开始，计算机是会走回到二十世纪初的问题。到时候计算机的答案未必是人类想要的答案！
注释
[1] 柯朗，罗宾著，斯图尔特修订，左平，张饴慈译，什么是数学（第4版），复旦大学出版社(2005).
[2] 波利亚著，刘景麟，曹之江，邹清莲译，数学的发现，科学出版社(2006).
[3] 斯狄瓦著，袁向东，冯绪宁译，数学及其历史，高等教育出版社(2011).
[4] 克莱因著.北大数学系译，古今数学思想(三册)，上海科学技术出版社(2013).
[5] 亚历山大洛夫编，石钟慈，邓健新译，数学:它的内容方法和意义（3册），科学出版社(2014).
[6] 高尔斯编，齐民友译，普林斯顿数学指南（三卷）科学出版社(2014)
[7] 邓东皋，孙小礼，张祖贵编，数学与文化，北京大学出版社(1990).
[8] 齐民友，数学与文化，大连理工大学出版社，第二版,(2016).
[9] K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38:173–198(1931).
[10] G. T. Kneebone, Mathematical logic and the Foundations of mathematics, Van Nostrand Co. , 1963.
[11] W. D. Hart, (ed.), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK, (1996).
[12] J. van Heijenoort, From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, MA,(1977).
[13] H. Putnam, P. Benacerraf, (ed.)Philosophy of mathematics selected readings, Second edition, Cambridge University Press(1983).
[14] T. Tymoczko, New Directions in the Philosophy of Mathematics, Birkhauser, Revised edition, 1998.
[15] B. Russell, A. N. Whitehead, Principia Mathematica, Cambridge University Press（1910-1913).
[16] 冯崇义，《罗素与中国-西方思想在中国的一次经历》，三联书店出版(1994).
[17] K. Gödel, Russell’s mathematical logic, in“The Philosophy of Bertrand Russell”(Library of Living Philosophers), P. Schilpp(ed.), NewYork:Tudor, 123–153, (1944).
[18] 布尔巴基[法]著，李文林编，胡作玄译，数学的建筑，大连理工大学出版社，2014年.
[19] A. R. D. Mathias, The Ignorance of Bourbaki, Mathematical Intelligencer14(1992)4–13.
[21] 黎景辉等，中学数学和大学数学的本质区别对学习和教学的影响，数学通报.
[23] 黎景辉，关于数学教育知识链的传递问题,数学教育学报,23/1(2014)9-15.
[24] 黎景辉，代数K理论,科学出版社，2018.
作者简介
黎景辉，耶鲁大学博士，曾在港台及欧美多所大学担任数学教授，现任河南大学特聘教授，并在大陆出版过多种高端数学教材。
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